Propriété de la variance

Propriété

Soit  \(X\)  une variable aléatoire d'espérance  \(E(X)\) , de variance  \(V(X)\)  et d'écart-type  \(\sigma(X)\) . Pour tout réel \(a\) , on a :

\(\boxed{V(aX)=a^2V(X)}\)

\(\boxed{\sigma(aX)=\lvert a\lvert\sigma(X)}\)

Démonstration  

Soit   `X`  une variable aléatoire sur l'univers  `\Omega`  prenant les valeurs  `x_1,x_2, ...,x_n`  de probabilités  `p_1, p_2,...,p_n` . On note  `E(X)`  l'espérance de la variable aléatoire  \(X\) .

• Soit  \(a\)  un réel et la variable aléatoire  \(Y=aX\) . Les valeurs prises par  \(Y\)  sont alors  \(ax_1,ax_2, ...,ax_n\)  de probabilités     `p_1, p_2,...,p_n`   .
  

On a  \(E(Y)=E(aX)=aE(X)\)  donc 

\(V(X)=p_1(ax_1-aE(X))^2+...+p_n(ax_n-aE(X))^2\)

soit  \(V(X)=p_1a^2(x_1-E(X))^2+...+p_na^2(x_n-E(X))^2=a^2(p_1(x_1-E(X))^2+...+p_n(x_n-E(X))^2)\)

c'est-à-dire  \(V(Y)=a^2V(X)\) . 

On a alors bien  \(\sigma(Y)=\lvert a\lvert\sigma(X)\) .